Drehmoment, Wellrad und Fahrrad

Drehmoment, Wellrad und Fahrrad Übung

• Benenne die wichtigen Aspekte bei einer Gangschaltung des Fahrrads.

  Tipps

  Das Drehmoment $M$ ist definiert als das Produkt aus dem Radius $r$ und einer senkrecht dazu wirkenden Kraft $F$.

  Ein bekanntes Beispiel für die Anwendung des Wellrads ist die Kettenschaltung beim Fahrrad.

  Die Gleichheit der Drehmomente zwischen dem Pedal und dem Kettenblatt sowie zwischen dem Ritzel und dem Hinterrad spielt dabei eine entscheidende Rolle.

  Lösung

  Das Drehmoment $M$ ist definiert als das Produkt aus dem Radius $r$ und einer senkrecht dazu wirkenden Kraft $F$. Es beschreibt die Tendenz einer Kraft, ein Objekt um einen bestimmten Punkt zu drehen. Im Fall eines Wellrads gilt das Prinzip der Gleichheit der Drehmomente für alle Elemente.

  Ein bekanntes Beispiel für die Anwendung des Wellrads ist die Kettenschaltung beim Fahrrad. Die Gleichheit der Drehmomente zwischen dem Pedal und dem Kettenblatt sowie zwischen dem Ritzel und dem Hinterrad spielt dabei eine entscheidende Rolle. In einem niedrigen Gang – also bei einem kleineren Kettenblatt vorne und einem größeren Ritzel hinten – wird die Kraftübertragung auf die Straße verbessert. Dies ermöglicht dem Radfahrer, leichter anzufahren oder Steigungen zu bewältigen. Im Gegensatz dazu führt ein höherer Gang – also ein größeres Kettenblatt vorne und ein kleineres Ritzel hinten – zu einer höheren Übersetzung der Kurbeldrehungen in Raddrehungen. Dadurch kann der Radfahrer bei höheren Geschwindigkeiten effizienter in die Pedale treten, jedoch mit weniger Kraftübertragung auf die Straße.

• Benenne die Teile des Fahrrads.

  Tipps

  Das Formelzeichen $F$ steht immer für eine Kraft.

  Das Formelzeichen $r$ steht immer für einen Radius.

  Schau dir die Abbildung genau an. Auf der linken Seite siehst du das Rad des Fahrrads.

  Lösung

  Die Kette eines Fahrrads ist ein zentrales Übertragungselement, das die Kraftübertragung zwischen den Pedalen und dem Hinterrad ermöglicht. Beim Treten der Pedale überträgt der Radfahrer Kraft auf die Pedalkurbeln. Die Länge der Pedalkurbel wirkt als Hebelarm und beeinflusst die auf die Kette übertragene Kraft. Diese Kraft wird über die Kette zum Kettenblatt übertragen, dessen Radius die Größe des Zahnrads am vorderen Ende des Fahrrads beschreibt. Die Kraft auf die Kette bewirkt die Drehung des Kettenblatts, was die Vorwärtsbewegung des Fahrrads antreibt.

  Auf der anderen Seite des Fahrrads befindet sich das Hinterrad, das mit einem oder mehreren Zahnrädern, den Ritzeln, ausgestattet ist. Diese Ritzel haben jeweils einen bestimmten Radius. Die Kraft, die von der Kette auf das Ritzel übertragen wird, bewirkt die Drehung des Hinterrads. Der Radradius beschreibt den Abstand vom Mittelpunkt des Hinterrads zum Ort, an dem die Kette das Hinterrad antreibt. Diese Drehung des Hinterrads überträgt schließlich die Kraft auf die Straße, was die Fortbewegung des Fahrrads ermöglicht.

• Stelle einen Zusammenhang zwischen der Kraftübertragung bei Pedal und Hinterrad her.

  Tipps

  Durch die Gleichheit der Drehmomente entsteht am hinteren Rad folgende Gleichung:

  $F_2=\dfrac{F_{\text{Rad}}\cdot R}{r_2}$

  Durch die Gleichheit der Drehmomente bei den Pedalen ergibt sich die Gleichung:

  $F_1=\dfrac{F_\text{K}\cdot r}{r_1}$

  Lösung

  Durch die Gleichheit der Drehmomente an den Pedalen und dem Hinterrad ergeben sich folgende Gleichungen:

  $F_1=\dfrac{F_{K}\cdot r}{r_1}$ und $F_2=\dfrac{F_{Rad}\cdot R}{r_2}$

  Mit der Bewegung der Kette ist die Kraftwirkung am Kettenblatt $F_1$ und am Ritzel $F_2$ gleich. Mit diesem Ansatz lässt sich ein Zusammenhang zwischen der Kraftwirkung am Rad $F_{\text{Rad}}$ und am Pedal $F_{\text{K}}$ herleiten:

  $F_2=F_1$

  $\Leftrightarrow \dfrac{F_{\text{Rad}}\cdot R}{r_2}=\dfrac{F_{\text{K}}\cdot r}{r_1}~~~~~~~~~~~~~|\cdot \dfrac{r_2}{R}$

  $\Leftrightarrow F_{\text{Rad}}\cdot\dfrac{R}{R}\cdot\dfrac{r_2}{r_2}=F_{\text{K}}\cdot\dfrac{r}{R}\cdot\dfrac{r_2}{r_1}$

  $\Rightarrow F_{\text{Rad}}=F_{\text{K}}\cdot\dfrac{r}{R}\cdot\dfrac{r_2}{r_1}$

• Berechne die Umdrehungszahl des Rades $N_2$ und die Kraft des Rades auf die Straße $F_{Rad}$.

  Tipps

  Die Umdrehungszahl des Rades berechnet sich mit:

  $N_2=\dfrac{N_1\cdot r_1}{r_2}$

  Die Kraft des Rades auf die Straße berechnet sich mit:

  $F_{\text{Rad}}=F_{\text{K}} \cdot \dfrac{r}{R}\cdot\dfrac{r_2}{r_1}$

  Lösung

  Folgende Größen sind in der Aufgabe gegeben:

  • $r=17~\text{cm}$

  • $R=34~\text{cm}$

  • $N_1=8$

  • $400~\text{N}$

  • für den vierter Gang: $~ r_1=3~\text{cm}$ und $r_2=6~\text{cm}$

  • für den achtzehnter Gang: $~ r_1=9~\text{cm}$ und $r_2=1~\text{cm}$

  
  

  Gesucht ist: $N_2$ und $F_{Rad}$.

  
  

  Umdrehungszahl des Rades:

  Vierter Gang:

  $N_2=\dfrac{N_1\cdot r_1}{r_2}$

  $\Rightarrow N_2=\dfrac{8\cdot 3~\text{cm}}{6~\text{cm}}$

  $\Rightarrow N_2= 4 =\dfrac{1}{2}\cdot N_1$

  Achtzehnter Gang:

  $N_2=\dfrac{N_1\cdot r_1}{r_2}$

  $\Rightarrow N_2=\dfrac{8\cdot 9~\text{cm}}{1~\text{cm}}$

  $\Rightarrow N_2= 72 =9\cdot N_1$

  
  

  Kraft des Rades auf die Straße:

  Vierter Gang:

  $F_{\text{Rad}}=F_K\cdot\dfrac{r}{R}\cdot\dfrac{r_2}{r_1}$

  $\Rightarrow F_{\text{Rad}}=400~\text{N}\cdot\dfrac{17~\text{cm}}{34~\text{cm}}\cdot\dfrac{6~\text{cm}}{3~\text{cm}}$

  $\Rightarrow F_{\text{Rad}}=400~\text{N}$

  Achtzehnter Gang:

  $F_{\text{Rad}}=F_K\cdot\dfrac{r}{R}\cdot\dfrac{r_2}{r_1}$

  $\Rightarrow F_{\text{Rad}}=400~\text{N}\cdot\dfrac{17~\text{cm}}{34~\text{cm}}\cdot\dfrac{1~\text{cm}}{9~\text{cm}}$

  $\Rightarrow F_{\text{Rad}} \approx 22{,}22~\text{N}$

• Stelle die Verhältnisse von Kettenblatt und Ritzel bei niedrigem bzw. hohem Gang dar.

  Tipps

  Ein niedriger Gang wird durch ein kleines Kettenblatt gebildet.

  Ein hoher Gang wird durch ein kleines Ritzel hinten gebildet.

  Lösung

  In einem Fahrrad unterscheidet man zwischen verschiedenen Gängen, die durch die Kombination von Kettenblatt vorne und Ritzel hinten bestimmt werden. Der Gang eines Fahrrads wird durch das Verhältnis zwischen der Größe des Kettenblatts vorne und dem Ritzel hinten definiert.

  Ein niedriger Gang, auch bekannt als „leichter Gang“ oder „Klettergang“, wird durch ein kleines Kettenblatt vorne und ein großes Ritzel hinten gebildet. In dieser Konfiguration hat das Fahrrad eine niedrige Übersetzung, was bedeutet, dass pro Umdrehung der Pedale das Hinterrad nur eine geringe Distanz zurücklegt. Dies erleichtert das Treten der Pedale und eignet sich besonders für das Bewältigen von Steigungen oder das Fahren in schwierigem Gelände. Der niedrige Gang ermöglicht es dem Radfahrer, mehr Kraft auf die Pedale auszuüben, um das Fahrrad effizienter zu bewegen, auch wenn dies mit einer geringeren Geschwindigkeit einhergeht.

  Ein hoher Gang, auch bekannt als „schwerer Gang“ oder „Schnellgang“, wird hingegen durch ein großes Kettenblatt vorne und ein kleines Ritzel hinten gebildet. In dieser Konfiguration hat das Fahrrad eine hohe Übersetzung, was bedeutet, dass pro Umdrehung der Pedale das Hinterrad eine größere Distanz zurücklegt. Dies ermöglicht dem Radfahrer, bei höheren Geschwindigkeiten zu fahren, da weniger Pedalkraft erforderlich ist, um das Fahrrad voranzutreiben. Der hohe Gang eignet sich besonders für das Fahren auf flachem Terrain oder für schnelle Fahrten auf der Straße.

• Berechne die Anzahl der Umdrehungen des Rads $N_2$ und die Kraft $F_{\text{Rad}}$, mit der das Rad auf die Straße wirkt.

  Tipps

  Gegeben sind:

  • Kurbellänge: $r=20~\text{cm}$

  • Radradius: $R=40~\text{cm}$

  • Anzahl der Tritte: $N_1=6$

  • Maximal ausgeübte Kraft: $F_{\text{K}}=300~\text{N}$

  Außerdem gilt für den fünften Gang:

  • Kettenblattradius: $r_1=4~\text{cm}$

  • Ritzelradius: $r_2=8~\text{cm}$

  Für den vierzehnten Gang gilt dann:

  • Kettenblattradius: $r_1=12~\text{cm}$

  • Ritzelradius: $r_2=2~\text{cm}$

  Gesucht sind:

  • Umdrehungszahl des Rads $N_2$

  • Kraft des Rads auf die Straße $F_{\text{Rad}}$

  Die Umdrehungszahl des Rads berechnet man mit:

  $N_2 = \dfrac{N_1 \cdot r_1}{r_2}$

  Die Kraft des Rads auf die Straße berechnet man mit:

  $F_{\text{Rad}} = F_{\text{K}} \cdot \dfrac{r}{R} \cdot \dfrac{r_2}{r_1}$

  Lösung

  Gegeben sind:

  • Kurbellänge: $r=20~\text{cm}$
  • Radradius: $R=40~\text{cm}$
  • Anzahl der Tritte: $N_1=6$
  • Maximal ausgeübte Kraft: $F_{\text{K}}=300~\text{N}$

  Außerdem gilt für den fünften Gang:

  • Kettenblattradius: $r_1=4~\text{cm}$

  • Ritzelradius: $r_2=8~\text{cm}$

  Für den vierzehnten Gang gilt dann:

  • Kettenblattradius: $r_1=12~\text{cm}$

  • Ritzelradius: $r_2=2~\text{cm}$

  
  

  Gesucht sind:

  • Umdrehungszahl des Rads $N_2$

  • Kraft des Rads auf die Straße $F_{\text{Rad}}$

  
  

  Umdrehungszahl des Rads:

  Im fünften Gang:

  $N_2 = \dfrac{N_1 \cdot r_1}{r_2}$

  $\Rightarrow N_2 = \dfrac{6 \cdot 4~\text{cm}}{8~\text{cm}}$

  $\Rightarrow N_2 = 3$

  Im vierzehnten Gang:

  $N_2 = \dfrac{N_1 \cdot r_1}{r_2}$

  $\Rightarrow N_2 = \dfrac{6 \cdot 12~\text{cm}}{2~\text{cm}}$

  $\Rightarrow N_2 = 36$

  
  

  Kraft des Rads auf die Straße:

  Im fünften Gang:

  $F_{\text{Rad}} = F_{\text{K}} \cdot \dfrac{r}{R} \cdot \dfrac{r_2}{r_1}$

  $\Rightarrow F_{\text{Rad}} = 300~\text{N} \cdot \dfrac{20~\text{cm}}{40~\text{cm}} \cdot \dfrac{8~\text{cm}}{4~\text{cm}}$

  $\Rightarrow F_{\text{Rad}} = 300~\text{N}$

  Im vierzehnten Gang:

  $F_{\text{Rad}} = F_{\text{K}} \cdot \dfrac{r}{R} \cdot \dfrac{r_2}{r_1}$

  $\Rightarrow F_{\text{Rad}} = 300~\text{N} \cdot \dfrac{20~\text{cm}}{40~\text{cm}} \cdot \dfrac{2~\text{cm}}{12~\text{cm}}$

  $\Rightarrow F_{\text{Rad}} = 25~\text{N}$