Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung

Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung Übung

• Beschreibe, was man unter einer Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung versteht.

  Tipps

  Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung teilt $100\,\%$ auf alle möglichen Werte einer Zufallsgröße auf.

  Beispiel: Beim zweifachen Würfelwurf wird häufig die Augensumme betrachtet. Uns interessieren in diesem Fall also nicht alle $36$ einzelnen Ergebnisse, sondern nur die Summe der beiden Augenzahlen. Diese kann Werte zwischen $2$ und $12$ annehmen.
  Die Zufallsgröße $X$ würde in diesem Fall also jedem möglichen Ergebnis die entsprechende Augensumme zuordnen.

  Lösung

  Zufallsgröße:
  Wenn wir ein beliebiges Zufallsexperiment haben, betrachten wir zunächst alle möglichen Ergebnisse. Häufig interessieren wir uns jedoch nicht wirklich für jedes einzelne Ergebnis, sondern für eine bestimmte Größe, die vom Ausgang des Experimentes abhängt.
  Die Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis eine reelle Zahl $x$ zu.

  Beispiel: Beim zweifachen Würfelwurf wird häufig die Augensumme betrachtet. Uns interessieren in diesem Fall also nicht alle $36$ einzelnen Ergebnisse, sondern nur die Summe der beiden Augenzahlen. Diese kann Werte zwischen $2$ und $12$ annehmen.
  Wenn wir die Augensumme betrachten, macht es beispielsweise keinen Unterschied, ob wir eine Drei und eine Eins, zwei Zweien oder eine Eins und eine Drei gewürfelt haben. Allen drei Ergebnissen wird der Wert $4$ zugeordnet.

  Wahrscheinlichkeitsverteilung:
  Wir betrachten nun die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Werte, die die Zufallsgröße $X$ annehmen kann.

  Beispiel: Beim Werfen von zwei Würfeln sind alle $36$ Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Daher müssen wir zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten jeweils nur die Anzahl der Ergebnisse, die zu einem gewissen Wert führen, durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse, also $36$, teilen. Der Augensumme Vier kann somit die Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{36}$ zugeordnet werden.

  Eine Zuordnung, die jedem Wert $x$, den eine Zufallsgröße $X$ annehmen kann, die entsprechende Wahrscheinlichkeit zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung $P(X)$. Diese ist also eine zweite Zuordnung, die jedem Wert der Zufallsgröße eine Wahrscheinlichkeit zwischen $0$ und $1$ zuordnet. Alle Einzelwahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ergeben in Summe immer $\color{#99CC00}{\mathbb{1}}$ beziehungsweise $\color{#99CC00}{\mathbb{100\,\%}}$.
  Andersherum ausgedrückt: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung teilt $100\,\%$ auf alle möglichen Werte einer Zufallsgröße auf.

• Gib die gesuchten Größen von Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung an.

  Tipps

  Ein mögliches Ergebnis beim zweifachen Würfelwurf wäre beispielsweise $(3; 4)$. Der Wert der Zufallsgröße wäre die Augensumme, hier $3+4=7$.

  Hier siehst du einen Ausschnitt für die Zuordnung der Ergebnisse zu den Werten der Zufallsgröße.

  Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten müssen wir jeweils nur die Anzahl der Ergebnisse, die zu einem gewissen Wert führen, durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse, also $36$, teilen.

  Lösung

  Unser Zufallsexperiment ist der zweifache Würfelwurf. Wir betrachten zunächst alle möglichen Ergebnisse. Diese bilden den Ergebnisraum. Ein mögliches Ergebnis wäre beispielsweise $(3; 4)$. Ein anderes Ergebnis ist $(4; 3)$. Insgesamt gibt es $6 \cdot 6 =36$ mögliche Ergebnisse.

  $\mapsto$ Die Anzahl der Elemente im Ergebnisraum beträgt $36$.

  In unserem Fall interessieren wir uns für die Augensumme. Dies ist eine Größe, die vom Ausgang des Experimentes abhängt. Wir nennen sie die Zufallsgröße $X$, sie ordnet jedem Ergebnis eine reelle Zahl $x$ zu. Uns interessieren in diesem Fall also nicht alle $36$ einzelnen Ergebnisse, sondern nur die Summe der beiden Augenzahlen. Die Augensumme kann Werte zwischen $2$ und $12$ annehmen. Wenn wir die Augensumme betrachten, macht es beispielsweise keinen Unterschied, ob wir eine Drei und eine Eins, zwei Zweien oder eine Eins und eine Drei gewürfelt haben. Allen drei Ergebnissen wird der Wert $4$ zugeordnet.

  $\mapsto$ Die Werte der Zufallsvariable $X$ liegen zwischen $2$ und $12$.

  Wir betrachten nun die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Werte, die die Zufallsgröße $X$ annehmen kann. Die Zuordnung, die jedem Wert $x$, den die Zufallsgröße $X$ annehmen kann, die entsprechende Wahrscheinlichkeit zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung $P(X)$.
  Beim Werfen von zwei Würfeln sind alle $36$ Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ergebnis beträgt also $\frac{1}{36}$.
  Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten müssen wir jeweils nur die Anzahl der Ergebnisse, die zu einem gewissen Wert führen, durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse, also $36$, teilen.

  $\mapsto$ Die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Ergebnis ist gleich $\dfrac{1}{36}$.

  Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten $P(X=5)$ müssen wir überlegen, welche Ergebnisse zur Augensumme $5$ führen. Dies sind die Ergebnisse $(1; 4)$, $(4; 1)$, $(2; 3)$ und $(3; 2)$. Die Anzahl der Ergebnisse, also $4$, müssen wir nun durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse, also $36$, teilen:
  $\mapsto$ Es gilt: $P(X=5) = \dfrac{4}{36}$.

• Vervollständige die Tabelle zur Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung beim Glücksrad.

  Tipps

  Die beiden Glücksräder haben jeweils drei gleich große gelbe und drei gleich große rote Felder. Für jedes einzelne Glücksrad gilt daher:
  $P(\text{gelb}) = 0{,}5$
  $P(\text{rot}) = 0{,}5$

  Dem Ergebnis, ein Glücksrad zeigt rot, eines gelb, ordnet die Zufallsgröße $X$ den Wert $-1$ Euro zu.

  Lösung

  Wir betrachten zunächst die beiden Glücksräder einzeln: Sie haben jeweils drei gleich große gelbe und drei gleich große rote Felder. Für jedes einzelne Glücksrad gilt daher:
  $P(\text{gelb}) = 0{,}5$
  $P(\text{rot}) = 0{,}5$

  Werden die beiden Glücksräder gleichzeitig gedreht, so können folgende Ergebnisse auftreten:

  • gelb, gelb $~\mapsto ~gg$
  • gelb, rot $~\mapsto ~gr$
  • rot, gelb $~\mapsto ~rg$
  • rot, rot $~\mapsto ~rr$

  Eine Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl $x$ zu.

  In unserem Beispiel gibt die Zufallsgröße $X$ den jeweiligen Gewinn bzw. Verlust an:

  $\begin{array}{c|c} \text{mögliche Ergebnisse} & \text{Zufallsgröße $X$: Wert in €} \\ \hline gg & \color{#99CC00}{+3} \\ \hline gr; rg & \color{#99CC00}{-1} \\ \hline rr & \color{#99CC00}{-3} \\ \end{array}$

  
  

  Wir betrachten nun die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Werte, die die Zufallsgröße $X$ annehmen kann. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung $P(X)$ ist dabei eine zweite Zuordnung, die jedem Wert der Zufallsgröße eine Wahrscheinlichkeit zwischen $0$ und $1$ zuordnet.

  Bei den Glücksrädern sind alle vier möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich, nämlich $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$. Wir können somit die Tabelle wie folgt ausfüllen:

  $\begin{array}{c|c|c} \text{mögliche Ergebnisse} & \text{Zufallsgröße $X$: Wert in €}& \text{Wahrscheinlichkeit } P(X=x) \\ \hline gg & +3{,}00 & \color{#99CC00}{0{,}25} \\ \hline gr; rg & -1{,}00 & 0{,}25 + 0{,}25 = \color{#99CC00}{0{,}5} \\ \hline rr & -3{,}00 & \color{#99CC00}{0{,}25} \\ \end{array}$

  Wir können unser Ergebnis überprüfen, indem wir die Wahrscheinlichkeiten addieren.
  Alle Einzelwahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung müssen in Summe immer $1$ ergeben:
  $0{,}25 + 0{,}5 + 0{,}25 =1$

• Überprüfe die Aussagen zur Wahrscheinlichkeitsverteilung.

  Tipps

  Der Ergebnisraum beinhaltet alle möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes.

  Beispiel für ein Ergebnis:
  richtig – richtig – falsch – richtig – richtig.

  Die Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis eine reelle Zahl $x$ zu. In unserem Fall gibt sie die Anzahl der richtigen Aufgaben an.

  Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung teilt $100\,\%$ auf alle möglichen Werte einer Zufallsgröße auf.

  Es gibt genau zwei richtige Aussagen.

  Lösung

  Wir unterscheiden zwischen den Begriffen Ergebnisraum, Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung:

  Der Ergebnisraum:
  Der Ergebnisraum beinhaltet alle möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes. In unserem Fall handelt es sich um einen Multiple-Choice-Test bestehend aus $5$ Aufgaben. Jede Aufgabe kann wiederum richtig oder falsch sein. Es gibt daher $2^5=32$ mögliche Ergebnisse. Zum Beispiel wäre ein Ergebnis richtig – richtig – falsch – richtig – richtig.

  Die Aussage "Der Ergebnisraum $\Omega$ beinhaltet $32$ Elemente." ist somit richtig.

  Die Zufallsgröße:
  Die Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis eine reelle Zahl $x$ zu. In unserem Fall gibt sie die Anzahl der richtigen Aufgaben an. Da der Test aus fünf Aufgaben besteht, kann die Zufallsvariable $X$ die Werte $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ und $5$ annehmen.

  Die Aussage "Die Zufallsvariable $X$ nimmt Werte zwischen $1$ und $3$ an." ist somit falsch, da es Werte zwischen $0$ und $5$ sind.

  Die Wahrscheinlichkeitsverteilung:
  Eine Zuordnung, die jedem Wert $x$, den eine Zufallsgröße $X$ annehmen kann, die entsprechende Wahrscheinlichkeit zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung $P(X)$. Alle Einzelwahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ergeben in Summe immer $1$ beziehungsweise $100\,\%$. Andersherum ausgedrückt: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung teilt $100\,\%$ auf alle möglichen Werte einer Zufallsgröße auf.

  Die Aussage "Die Wahrscheinlichkeitsverteilung $P(X)$ verteilt die $100\,\%$ auf sechs verschiedene Werte." ist dabei richtig, da die Zufallsvariable sechs verschiedene Werte annehmen kann (s.o.).

  Wir betrachten nun noch die Wahrscheinlichkeit $P(X=0)$. Dies betrachtet den Fall, dass es keine der Aufgabe richtig beantwortet wird. Da für jede einzelne Frage die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort $\frac{2}{3}$ beträgt, gilt:
  $P(X=0)=\left(\dfrac{2}{3}\right)^5=\dfrac{32}{243} \approx 0{,}132$

  Die Aussage "Es gilt: $P(X=0)=0$" ist somit falsch.

• Gib die Werte der Zufallsgröße an.

  Tipps

  Die Zufallsgröße $X$ ordnet nun jedem Ergebnis eine reelle Zahl $x$ zu. In unserem Beispiel wird jedem Ergebnis ein Wert in Euro zugeordnet.

  Wir betrachten als Beispiel das Ergebnis $KZK$:

  Wir gewinnen zunächst einen Euro, verlieren ihn wieder und gewinnen noch einmal einen Euro.

  Lösung

  Wir betrachten den dreifachen Münzwurf:
  Bei jedem Wurf unterscheiden wir zwischen Kopf ($K$) und Zahl ($Z$). Insgesamt gibt es somit acht mögliche Ergebnisse:
  $KKK \quad KKZ \quad KZK \quad ZKK \quad ZZK \quad ZKZ \quad KZZ \quad ZZZ$

  Die Zufallsgröße $X$ ordnet nun jedem Ergebnis eine reelle Zahl $x$ zu. In unserem Beispiel wird jedem Ergebnis ein Wert in Euro zugeordnet. Wir betrachten den Wert der Zufallsgröße für jedes Ergebnis einzeln:

  • $\color{#99FF32}{\mathbf{KKK}}~$ – $~$Wir gewinnen dreimal einen Euro.

  $\quad\rightarrow$ $1+1+1= \color{#99FF32}{\mathbf{+3}}$

  • $\color{#F3DB00}{\mathbf{KKZ}}~$ – $~$Wir gewinnen zweimal einen Euro und verlieren einen Euro.

  $\quad\rightarrow$ $1+1-1= \color{#F3DB00}{\mathbf{+1}}$

  • $\color{#F3DB00}{\mathbf{KZK}}~$ – $~$Wir gewinnen zunächst einen Euro, verlieren ihn wieder und gewinnen noch einmal einen Euro.

  $\quad\rightarrow$ $1-1+1= \color{#F3DB00}{\mathbf{+1}}$

  • $\color{#F3DB00}{\mathbf{ZKK}}~$ – $~$Wir verlieren einen Euro und gewinnen zweimal einen Euro.

  $\quad\rightarrow$ $-1+1+1= \color{#F3DB00}{\mathbf{+1}}$

  • $\color{#66D8FF}{\mathbf{ZZK}}~$ – $~$Wir verlieren zweimal einen Euro und gewinnen einen Euro.

  $\quad\rightarrow$ $-1-1+1= \color{#66D8FF}{\mathbf{-1}}$

  • $\color{#66D8FF}{\mathbf{ZKZ}}~$ – $~$Wir verlieren einen Euro, gewinnen dann einen Euro und verlieren wieder einen Euro.

  $\quad\rightarrow$ $-1+1-1= \color{#66D8FF}{\mathbf{-1}}$

  • $\color{#66D8FF}{\mathbf{KZZ}}~$ – $~$Wir gewinnen einen Euro und verlieren zweimal einen Euro.

  $\quad\rightarrow$ $1-1-1= \color{#66D8FF}{\mathbf{-1}}$

  • $\color{#FF66FF}{\mathbf{ZZZ}}~$ – $~$Wir verlieren dreimal einen Euro.

  $\quad\rightarrow$ $-1-1-1= \color{#FF66FF}{\mathbf{-3}}$

• Formuliere ein Experiment und eine Zufallsgröße, die zu der gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung passen.

  Tipps

  Du kannst zunächst überprüfen, ob die gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig ist. Alle Einzelwahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ergeben in Summe nämlich immer $1$.

  Du kannst ermitteln, welche Farbe gezählt wird, indem du jeweils ${P(X=5)}$ mit und ohne Zurücklegen berechnest und mit dem gegebenen Wert vergleichst.

  Lösung

  Wir können zunächst überprüfen, ob die gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig ist. Alle Einzelwahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ergeben in Summe immer $1$. Wir addieren also:
  $\dfrac{32}{243} + \dfrac{70}{81} + \dfrac{1}{243} =1$
  Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist somit vollständig angegeben.
  Wir können daraus schlussfolgern, dass die Zufallsvariable $X$ Werte zwischen $0$ und $5$ annehmen kann. Es können also zwischen $0$ und $5$ Kugeln der entsprechenden Farbe gezogen werden.
  $\mapsto \quad$ Wir wissen also, dass $\color{#99CC00}{\mathbb{5}}$ Kugeln gezogen werden.

  $\,$

  Wir untersuchen nun, welche Farbe bei der Zufallsgröße gezählt wird und ob mit oder ohne Zurücklegen gezogen wird:

  Angenommen, es wird die Anzahl der grünen Kugeln gezählt. In diesem Fall müsste mit Zurücklegen gezogen werden, da die Zufallsvariable sonst nicht den Wert $5$ annehmen könnte. Wir können leicht überprüfen, ob die gegebene Wahrscheinlichkeit $P(X=5)$ für diese Annahme stimmt:
  Wir wissen, dass insgesamt $4+3+5=12$ Kugeln in der Urne sind, von denen $3$ Kugeln grün sind. Dies bleibt bei jedem Zug unverändert, da mit Zurücklegen gezogen wird. Somit gilt:

  $P(X=5)= \dfrac{3}{12} \cdot \dfrac{3}{12} \cdot \dfrac{3}{12} \cdot\dfrac{3}{12} \cdot\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{1\, 024}$
  Der Wert stimmt nicht mit der Angabe aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung überein, es handelt sich also nicht um die grünen Kugeln.

  Angenommen, es wird die Anzahl der blauen Kugeln gezählt. Gehen wir davon aus, dass mit Zurücklegen gezogen wird, so ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit $P(X=5)$ bei $5$ von $12$ blauen Kugeln:
  $P(X=5)= \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{5}{12} \cdot\dfrac{5}{12} \cdot\dfrac{5}{12} = \dfrac{3\, 125}{248\, 832}$
  Der Wert stimmt nicht mit der Angabe aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung überein, es handelt sich also nicht um die blauen Kugeln mit Zurücklegen.
  Gehen wir nun davon aus, dass die Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden und die Anzahl der blauen Kugeln gezählt wird. Dann gilt:
  $P(X=5)= \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{4}{11} \cdot \dfrac{3}{10} \cdot\dfrac{2}{9} \cdot\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{792}$
  Auch dieser Wert stimmt nicht mit der Angabe aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung überein, es handelt sich also auch nicht um die blauen Kugeln ohne Zurücklegen.

  Angenommen, es wird die Anzahl der roten Kugeln gezählt. Auch in diesem Fall müsste mit Zurücklegen gezogen werden, da die Zufallsvariable sonst nicht den Wert $5$ annehmen könnte. Für die Wahrscheinlichkeit $P(X=5)$ gilt bei $4$ von $12$ roten Kugeln:
  $P(X=5)= \dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{4}{12} \cdot\dfrac{4}{12} \cdot\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{243}$
  Der Wert stimmt mit der Angabe aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung überein.
  $\mapsto \quad$ Es handelt sich also um die roten Kugeln. Es wird mit Zurücklegen gezogen.